Limites, Applications Continues, Espaces Complets : Introduction À La Topologie

Cet ouvrage est une introduction à la topologie. Il s'adresse aux étudiants de L3 de mathématiques, de masters de mathématiques pures et appliquées, aux étudiants des écoles d'ingénieurs ainsi qu'aux étudiants qui préparent le C.A.P.E.S. et l'agrégation de mathématiques. Il propose à la fois des rappels de cours et des exercices corrigés de façon particulièrement détaillée, classés par ordre de difficulté croissante. Le lecteur peut ainsi progresser à son rythme et de façon autonome dans cette discipline. Chaque chapitre est agrémenté de pages historiques, qui retracent la vie de certains mathématiciens ayant contribué au développement de la topologie. Sont abordées dans ce fascicule, les fonctions continues sur les espaces topologiques, métriques et normés, ainsi que la notion de complétude dans le cadre des espaces métriques. Les exercices proposés permettent aux lecteurs de maîtriser un large spectre d'exemples. Une fois ces notions assimilées, il pourra sans dificultés s'engager dans des études plus avancées.

Préface. 1 Prérequis. 1.1 Espaces topologiques. 1.1.1 Définitions, notations. 1.1.2 Topologie induite, topologie produit. 1.1.3 Suite dans un espace topologique. 1.2 Espaces métriques. 1.2.1 Définitions, exemples. 1.2.2 Boules. 1.2.3 Topologie d'un espace métrique. 1.3 Espaces vectoriels normés. 1.3.1 Semi-norme, norme. 1.3.2 Métrique associée à une norme. 1.3.3 Normes équivalentes . 2 Limite continuité esp. top. 2.1 Rappels de cours. 2.1.1 Limite d'une fonction en un point. 2.1.2 Continuité d'une application en un point. 2.1.3 Application ouverte, fermée. 2.1.4 Continuité et monotonie sur R. 2.1.5 Homéomorphisme. 2.1.6 Continuité et finesse des topologies 2.1.7 Topologie induite sur une partie. 2.1.8 Fonction continue sur un produit. 2.2 Exercices. 3 Limite continuité esp. Métr. 3.1 Rappels de cours. 3.1.1 Suites, limite d'une fonction en un point. 3.1.2 Continuité. 3.1.3 Isométrie. 3.1.4 Equivalence de métriques.