Introduction À La Topologie ; Espaces Topologiques, Métriques, Normés

Cet ouvrage est une introduction à la topologie. Il s'adresse aux étudiants de L3 de Mathématiques, de Mastères de Mathématiques Pures et Appliquées, aux étudiants des Écoles d'Ingénieurs, ainsi qu'aux étudiants qui préparent le C.A.P.E.S. et l'Agrégation de Mathématiques. Il propose à la fois des rappels de cours et des exercices corrigés de façon particulièrement détaillée, classés par ordre de difficulté croissante. Le lecteur peut ainsi progresser à son rythme et de façon autonome dans cette discipline. Chaque chapitre est agrémenté de pages historiques, qui replacent les résultats énoncés dans leur contexte. Sont abordées dans ce premier fascicule de topologie, les notions d'espaces topologiques, d'espaces métriques et d'espaces normés, d'ouverts, fermés, adhérence, intérieur, etc. Les exercices proposés permettent aux lecteurs de maîtriser un large spectre d'exemples. Une fois ces notions assimilées, il pourra sans difficultés s'engager dans des études plus avancées. Maître de Conférence de Mathématiques à l'Université Claude Bernard Lyon 1, Daniel Sondaz a consacré une large partie de son temps à l'enseignement en Licence et en Mastère de Mathématiques. Jean-Marie Morvan est Professeur de Mathématiques à l'Université Claude Bernard Lyon 1. Rémi Morvan se consacre à la diffusion et la vulgarisation de textes scientifiques d'enseignement et de recherche.

1 Prérequis 1.1 Applications 1.2 Familles 1.2.1 Union, intersection, complémentaire 1.2.2 Image d'une famille de parties 1.2.3 Image réciproque d'une famille de parties 1.2.4 Produit d'une famille de parties 2 Espaces Topologiques 2.1 Rappels de cours 2.1.1 Notion de topologie 2.1.2 Finesse comparée de deux topologies 2.1.3 Base d'une topologie 2.1.4 Voisinage 2.1.5 Partie fermée 2.1.6 Intérieur, adhérence, frontière 2.1.7 Séparation 2.1.8 Densité 2.1.9 Topologie induite sur une partie 2.1.10 Produit d'espaces topologiques 2.1.11 Suites dans un espace topologique 2.2 Exercices 2.2.1 Espaces topologiques 2.2.2 Ouverts, fermés, intérieur, adhérence 2.2.3 Topologie induite 2.2.4 Bases de topologie 2.2.5 Finesse comparée de topologies 2.2.6 Produit d'espaces topologiques 3 Espaces Métriques 3.1 Rappels de cours 3.1.1 Métrique 3.1.2 Boules 3.1.3 Topologie d'un espace métrique 3.1.4 Isométrie 3.1.5 Suites dans un espace métrique 3.2 Exercices 3.2.1 Métriques 3.2.2 Ouverts, fermés, boules 4 Espaces Vectoriels Normés 4.1 Rappels de cours 4.1.1 Norme 4.1.2 Métrique associée à une norme 4.1.3 Normes équivalentes 4.2 Exercices 4.2.1 Normes 4.2.2 Ouverts, fermés, boules