Geometria Elemental Con Ecuaciones

La geometría elemental es la geometría de las figuras sencillas del plano y del espacio: rectas y planos, cónicas y algunas cuádricas no degeneradas. Su tratamiento analítico con ecuaciones sirve para trasformar los problemas de naturaleza y descripción geométrica en otros de planteamiento algebraico, que puedan ser tratados con las herramientas del álgebra. Este enfoque de los problemas de la geometría es posible desde que Descartes introdujo el concepto de coordenadas, y aunque hoy nos parece un método conveniente y muy útil, no fue así en un principio. Los historiadores de las Matemáticas siempre nos recuerdan los duros enfrentamientos entre los partidarios del tratamiento sintético sin ecuaciones, conceptual y ajeno al cálculo explícito de nada, y los partidarios de reducir todo a tales cálculos. Por supuesto, hoy sabemos que los unos no pueden vivir sin los otros: en muchos casos un argumento geométrico sagaz evita marasmos de cálculos enrevesados, pero también muchas veces unas ecuaciones bien elegidas resuelven inmediatamente una configuración geométrica difícil siquiera de representar gráficamente. Al final, siempre ocurre que la buena comprensión se alcanza recurriendo a la vez a ambos métodos, el sintético y el analítico. Tampoco está de más recordar que si muchos son los problemas que uno, otro o ambos métodos conjuntamente resuelven, ¡son muchos más los que siguen pendientes de solución!Este texto está dedicado al enfoque analítico de la geometría elemental del plano y del espacio, que intentamos presentar utilizando el significado geométrico de los objetos. El libro insiste en la distinción natural entre las nociones vectoriales, las afines y las euclídeas. Las nociones vectoriales son las propias de un espacio ideal organizado alrededor de un elemento singular, el cero. Las nociones afines son las propias del espacio real, en el que no hay ningún punto cero, y por tanto ningún punto distinguido que condicione la representación del espacio. En este espacio real podemos distinguir algunas propiedades geométricas, como el paralelismo, pero poco más: no podemos siquiera reconocer la perpendicularidad. Para poder hacer eso debemos medir, que es lo propio de las nociones euclídeas, que involucran distancias y ángulos. Esto dicho, describamos con más detalle la materia que se abarcamos:I. Primer capítulo.? Aquí se expone del modo más directo posible el cálculo vectorial en el que se basa la geometría analítica: combinaciones lineales, bases y coordenadas, productos escalar, vectorial y mixto. En especial, se utilizan estas nociones para calcular módulos de vectores, áreas de polígonos y volúmenes de poliedros. Este primer capítulo debe ser sencillo para el lector, por ser su contenido ya familiar.II. Segundo capítulo.? En él se describen mediante ecuaciones las figuras lineales (rectas y planos), y se utilizan esas ecuaciones para la construcción de figuras adicionales, para el cálculo de distancias y para la determinación de algunos lu...