Elementos Finitos

Esta obra abrange os Conceitos Fundamentais Obrigatórios na Utilização do Método dos Elementos Finitos, complementados por exercícios de aplicação e exemplos práticos de Modelagem Estrutural. São formulados os principais elementos finitos utilizados nos softwares de análise.
Esta abordagem tem se revelado uma visão equilibrada entre o conhecimento teórico necessário e a aplicação prática, sendo o ponto de partida para aqueles que pretendem se desenvolver nesta área.
Uma Base Conceitual adequada com visão física é o melhor caminho para obter bons resultados nas aplicações práticas do dia-a-dia com os softwares de Elementos Finitos. Esta é a proposta do livro.

Índice

Capítulo 1 - Introdução
ao Método dos Elementos Finitos

1.1. Introdução

1.2. Idealização de Sistemas - Modelos Discretizados

1.2.1. Sistemas Contínuos

1.2.2. Sistemas Discretos

1.3. Método dos Elementos Finitos - Sistema Discreto Padrão

1.4. Tipos de Modelos Discretizados

1.4.1. Estruturas Reticuladas

1.4.2. Elementos Estruturais Conectados Continuamente

1.5. A Análise Matricial de Estruturas - Matriz de Rigidez de um Elemento

Análise Matricial de Estruturas Reticuladas

1.6. Leis Fundamentais - Matriz de Rigidez da Estrutura

1.6.1. Introdução

1.6.2. Leis Fundamentais

1.6.3. Matriz de Rigidez de uma Estrutura



Capítulo 2 - Elemento de Mola: Rigidez do Elemento e Rigidez da Estrutura

2.1. O Elemento mais Simples: A Mola

2.2. Matriz de Rigidez do Elemento de Mola

2.3. Significado Físico dos Termos da Matriz de Rigidez do Elemento-Generalizando

2.4. Generalização a partir da Mola do Significado Físico da Matriz de Rigidez
de Qualquer Elemento Finito

2.5. Matriz de Rigidez de Uma Estrutura - Utilização da Mola para Estabelecer
a Montagem da Matriz de Rigidez de Uma Estrutura a partir das Matrizes de Rigidez
de seus Elementos

Lei De Equilíbrio de Forças

Relação Força - Deslocamento para um Elemento

Compatibilidade de Deslocamentos para os Elementos

Comentários em Relação às Matrizes de Rigidez dos Elementos e da Estrutura

2.6. Procedimento de Solução para a Determinação dos Deslocamentos da Estrutura
Inteira, Reações de Apoio e Forças Internas nos Elementos

2.7. Aplicação da Seqüência Anterior - Exercício

2.7.1. Definição do Modelo Estrutural como uma Montagem de Elementos

2.7.2. Determine a Matriz de Rigidez de Cada Elemento e Represente - a No Sistema
de Coordenadas da Estrutura

2.7.3. Monte a Matriz de Rigidez da Estrutura a partir das Matrizes de Rigidez
dos seus Elementos do Sistema de Equações de Equilíbrio

2.7.4. Defina as Condições de Contorno de Deslocamentos - As Restrições - para
Preparar a Solução do Sistema de Equações

2.7.5. Determine os Deslocamentos Nodais para a Estrutura Inteira, Resolvendo
o Sistema de Equações e, Posteriormente, As Reações de Apoio

2.8. Determine As Forças Internas em Cada Elemento, a partir do Conhecimento dos
Deslocamentos Nodais Associados ao Elemento

2.9. Aplicações Gerais a Partir do Estudo dos Elementos de Mola

2.10. Preparando o Estudo dos Elementos Finitos mais Gerais



Capítulo 3 - Elemento de Treliça Sistemas de Coordenadas Local e Global

3.1. Elemento de Barra Articulada nas Extremidades - Treliças Rigidez Axial

3.2. Matriz de Rigidez do Elemento de Barra

Relação entre Forças Nodais e Deslocamentos Nodais

3.3. Matriz de Rigidez do Elemento nos Sistemas Local e Global Matriz de Transformação

3.4. Exercício de Aplicação para Estrutura na Forma de Treliça

3.4.1. Definição Do Modelo Estrutural Como Uma Montagem De Elementos

3.4.2. Determine a Matriz de Rigidez de Cada Elemento e Represente - A no Sistema
Global

3.4.3. Monte a Matriz de Rigidez da Estrutura a partir das Matrizes de Rigidez
dos Seus Elementos - Sistema de Equações de Equilíbrio

3.4.4. Defina as Condições de Contorno de Deslocamentos-As Restrições-Para Preparar
a Solução do Sistema de Equações

3.4.5. Determine os Deslocamentos Nodais para a Estrutura Inteira, Resolvendo
o Sistema de Equações, e Posteriormente, as Reações de Apoio

3.4.6. Determine as Forças Internas em cada Elemento a partir do Conhecimento
dos Deslocamentos Nodais Associados ao Elemento

3.5. Aspectos Gerais Importantes na Formulação de qualquer Elemento Finito



Capítulo 4 - Elemento de Viga Superposição de Comportamentos Independentes

4.1. O Elemento de Viga

Flexão de Vigas - Tensões Normais

Flexão de Vigas - Tensões de Cisalhamento

4.2. Matriz de Rigidez do Elemento de Viga com apenas Rigidez à Flexão

4.3. Matriz de Rigidez do Elemento de Viga com Rigidez à Flexão e Rigidez Axial
Pórtico Plano

4.4. Matriz de Rigidez do Elemento nos Sistemas Local e Global Matriz de Transformação

4.5. Exemplo de Montagem da Matriz de Rigidez de Estrutura de Pórtico Plano

4.5.1. Definição do Modelo Estrutural como uma Montagem de Elementos

4.5.2. Determine a Matriz de Rigidez de cada Elemento e Represente- a no Sistema
Global

4.5.3. Monte a Matriz de Rigidez da Estrutura a partir das Matrizes de Rigidez
dos seus Elementos - Sistema de Equações de Equilíbrio

4.5.4 Defina as Condições de Contorno de Deslocamentos - as Restrições - para
Preparar a Solução do Sistema de Equações

4.6. Matriz de Rigidez do Elemento de Viga com Somente Rigidez à Torção

4.7. Matriz de Rigidez do Elemento de Viga no Espaço

4.8. Matriz de Rigidez do Elemento de Viga no Espaço - Formulação Completa Incluindo
a Deformação por Cisalhamento



Capítulo 5 - Elementos Bidimensionais e Tridimensionais - Aplicações Gerais

5.1. Aspectos Importantes na Formulação dos Elementos Finitos Aplicações Gerais

5.2. Conceitos Importantes na Definição da Matriz de Rigidez de Elementos Finitos
Bi e Tridimensionais

5.3. Método Geral para a Montagem da Matriz de Rigidez de Qualquer Elemento Finito

5.3.1. Formule a Função de Deslocamentos para o Elemento Finito - Escolha a Função
de Interpolação Adequada para o Elemento

5.3.2. Calcule os Coeficientes Desconhecidos da Função de Interpolação, Relacionando
os Deslocamentos dentro do Elemento com os Deslocamentos Nodais

5.3.3. Calcule as Deformações Internas no Elemento a Partir dos Deslocamentos
Nodais

5.3.4. Calcule as Forças Internas no Elemento E, Como Conseqüência, as Tensões
a partir dos Deslocamentos Nodais

5.3.5. Determine a Matriz de Rigidez do Elemento [K]e Estabelecendo a Relação
Entre Forças Nodais e Deslocamentos Nodais para o Elemento Finito

Trabalho Virtual Externo

Trabalho Virtual Interno

Condição de Equivalência

Comentários e Generalizações

5.4. Preparando o Caminho para a Formulação dos Elementos Finitos Bi e Tridimensionais

Estado Plano de Tensões

Barra de Treliça

Chapa sob Estado Plano de Tensões

Interpretação das Expressões (A) E (B)

Distorções

Relações Elásticas Tensão-Deformação - Estado Plano de Tensões

Estado Triaxial de Tensões - Generalizando

Equações Constitutivas

5.5. Formulando os Elementos Finitos Bidimensionais e Tridimensionais

5.5.1. Introdução

5.5.2. Formular o Elemento de Estado Plano de Tensões Triangular Linear

Complemento - Determinação da Matriz de Rigidez do Elemento

Representação das Funções de Interpolação na Forma Matricial e Cálculo dos Coeficientes
Desconhecidos

Deformações

Tensões

Equivalência entre Trabalho Externo e Trabalho Interno, e Obtenção da Matriz de
Rigidez do Elemento Triangular de Estado Plano de Tensões

Trabalho Virtual Interno

5.5.3. Formular o Elemento Sólido Tetraédrico Linear

5.5.4. Formular o Elemento de Estado Plano de Tensões Retangular Linear

Complemento - Determinação da Matriz de Rigidez do Elemento

Relacione os Deslocamentos Gerais dentro do Elemento aos Deslocamentos Nodais

Exprimir Deformação Interna em Termos de Deslocamentos Nodais

Exprimir as Forças Internas (Tensões) em Termos de Deslocamentos Nodais, Usando
a Lei de Comportamento Elástico do Elemento

Obter a Matriz de Rigidez do Elemento [K]e Relacionando Forças Nodais e Deslocamentos
Nodais

5.5.5. Formular o Elemento Sólido Hexaédrico Linear

Determinação da Matriz de Rigidez do Elemento

5.5.6. Formular o Elemento de Estado Plano de Tensões Triangular Parabólico

5.5.7. Formular o Elemento Sólido Tetraédrico Parabólico

5.5.8. Formular os Elementos

5.5.9. Formular o Elemento de Placa Retangular Linear

5.5.9.1. Introdução

5.5.9.2. Formulação do Elemento

5.5.10. Formular o Elemento de Casca Retangular Linear

5.5.10.1. Introdução

5.5.11. Convergência de Resultados

5.5.11.1 Critérios

5.5.11.2 Grau de Continuidade Cm

5.5.11.3. A Família Tetraédrica

5.5.12. Elementos com Modos de Deslocamentos Incompatíveis

5.5.12.1. Introdução

5.5.12.2. Elemento Retangular de Tensão de Cisalhamento Constante - Estado Plano
de Tensões "Cssr - Constant Shear Stress Rectangle Element"

Relacione os Deslocamentos Gerais dentro do Elemento aos Descolamentos Nodais

5.5.12.3. Testes Comparativos entre Elementos com Modos Incompatíveis e Modos
Compatíveis

5.6. Complemento do Elemento de Estado Plano de Deformações e o Elemento Sólido
Axisimétrico



Capítulo 6 - Formulação Isoparamétrica e Complementos

6.1. Introdução

6.2. Sistema de Coordenadas Naturais - Formulação Isoparamétrica em Elementos
Finitos

Elemento de Treliça

Formulação Isoparamétrica em Elementos Finitos

6.3. Generalizando os Conceitos Anteriores

Interpolação da Geometria do Elemento

Interpolação do Campo de Deslocamentos

6.4. Integração para Obtenção da Matriz de Rigidez de um Elemento

Integração Numérica

Ordem de Integração

6.5. Forças Nodais Equivalentes - Expressão para as Aplicações Gerais do Método
dos Elementos Finitos no Âmbito da Análise Estrutural Linear

6.6. Generalização do Método dos Elementos Finitos

6.6.1. Introdução

6.6.2. Aplicação

6.6.3. Observações Finais



Apêndice A - Alguns Exemplos Práticos